Булева алгебра , символічна система математичної логіки, яка представляє відносини між сутностями - або ідеями, або об'єктами. Основні правила цієї системи були сформульовані в 1847 р. Джорджем Булом з Англії та згодом були уточнені іншими математиками та застосовані до теорії множин. Сьогодні булева алгебра має значення для теорії ймовірності, геометрії множин та теорії інформації. Крім того, він є основою для проектування схем, що використовуються в електронних цифрових комп'ютерах.

У булевій алгебрі набір елементів закритий під двома комунікативними бінарними операціями, які можна описати будь-якою з різних систем постулатів, і все це можна вивести з основних постулатів про те, що елемент ідентичності існує для кожної операції, що кожна операція є розподільний над іншим, і що для кожного елемента в наборі є ще один елемент, який поєднується з першим під будь-яку з операцій, щоб отримати елемент ідентичності другого.

Звичайна алгебра (в якій елементами є дійсні числа, а комутативні двійкові операції є додаванням та множенням) не відповідає всім вимогам булевої алгебри. Набір дійсних чисел закривається під двома операціями (тобто сума або добуток двох дійсних чисел також є дійсним числом); елементи ідентичності існують - 0 для додавання та 1 для множення (тобто a + 0 = a і a × 1 = a для будь-якого реального числа a ); а множення є розподільним над складанням (тобто a × [ b + c ] = [ a × b ] + [ a × c]); але додавання не є розподільним за множенням (тобто a + [ b × c ] взагалі не дорівнює [ a + b ] × [ a + c ]).

Перевага булевої алгебри полягає в тому, що вона діє, коли значення істини, тобто істинність або хибність даної пропозиції чи логічного твердження, використовуються як змінні замість числових величин, використовуваних звичайною алгеброю. Він піддається маніпулюванню судженнями, які є точні істинними (із значенням істини 1) або помилковими (з 0 істинністю). Дві такі пропозиції можуть бути об'єднані, щоб утворити складене пропозицію, використовуючи логічні сполучники, або оператори, ІЛИ АБО. (Стандартні символи для цих сполучників відповідно ∧ і are.) Значення істинності отриманого пропозиції залежить від значень істинності компонентів та використовуваних сполучників. Наприклад, пропозиції a і bможуть бути правдивими або хибними, незалежно один від одного. Сполучний AND виробляє пропозицію, a ∧ b , це правда, коли і a, і b є істинними, а false - в іншому випадку.

Ця стаття була нещодавно переглянута та оновлена ​​Вільям Л. Хош, асоційований редактор